Billet Eco paru dans Monaco Business News n° 61 : Le monde peut être décrit mais pas prédit par les mathématiques : toute planification est vouée à l'échec.

La version humoristique de XKCD

Le poids de l'Histoire

"Montrez-moi un multiculturaliste dans un avion et je vous montrerai un hypocrite."
Richard Dawkins

Le Jeu de la Vie

Le Triangle de Sierpiński (image ci-contre) est constitué d’un empilement de triangles apparemment compliqué, mais il peut être dessiné fidèlement totalement au hasard, à partir du jet d’un seul dé, en suivant une règle très simple. On ne peut alors prédire dans quel ordre seront dessinés les triangles, mais on sait que plus il y aura de jets de dé, plus le tracé sera précis. Et ce n’est pas le seul dessin complexe qui peut être généré avec un simple dé : il suffit de changer un tout petit peu les règles pour reproduire fidèlement une feuille de fougère (voir Sparks, 2017).

Ce cas où le hasard mène à un résultat prédéterminé est assez rare, il est plus fréquent que nous soyons confrontés à l’inverse : des algorithmes parfaitement déterministes qui mènent à des résultats imprévisibles.

En 1970, le mathématicien anglais John Horton Conway a proposé un Jeu à zéro joueur : le Jeu de la Vie, un automate cellulaire bidimensionnel à deux états ("vivant" ou "mort"). Il s’agit d’une grille (comme une feuille quadrillée) où à chaque tour (une "génération") la "vie" de chaque case (qu’elle soit ou non occupée) est déterminé par le nombre de cases vivantes (occupées) parmi les huit qui l’entourent. Cette règle est simple mais suffit à générer aussi bien des formes stables (qui n’évoluent pas d’une génération à l’autre) que des formes beaucoup plus complexes comme un canon à planeurs, des vaisseaux porteurs d’information, et même des portes logiques permettant de construire des ordinateurs universels (Machines de Turing). Le point essentiel est que, comme l’avait remarqué John H. Conway, on ne peut pas toujours prédire l’avenir à ce jeu. Si le destin de certaines formes est connu (stabilité, répétition... ou mort), il est fondamentalement imprévisible pour d’autres : un avenir non déterminé peut être créé à partir d’une règle déterministe simplissime.

En 2002, le prodige Stephen Wolfram a publié "A New Kind of Science" où il étudie systématiquement les évolutions d’un jeu encore plus simple. Dans son quadrillage, l’état d’une cellule ne dépend plus des huit qui l’entourent mais seulement des trois de la ligne du dessus. Comme ces trois cases ne peuvent représenter que 8 états (2^3), il n’y a que 256 règles possibles (2^8), dont seulement 88 sont fondamentalement différentes. Et pourtant, là encore, des règles simples mènent à des résultats imprévisibles (voire chaotiques).

Le Billet Eco 15 (MBN 59) avait signalé que si nous sommes excellents à prédire le très court terme, nous sommes à la merci de "Cygnes noirs", ces événements trop rares pour rentrer dans les probabilités et donc imprévisibles qui transforment profondément le monde et lui font prendre une nouvelle direction. Les modélisations comme le Jeu e la Vie et les algorithmes cellulaires de Stephen Wolfram vont encore plus loin : l’imprédictibilité est fondamentale, il n’existe pas de formule permettant de calculer directement un état futur, le seul moyen de savoir ce que certaines règles simples produiront comme résultat est de les tester.

Un monde mathématique

Les mathématiques ont montré une extraordinaire précision à décrire le monde, et nous nous en servons à chaque instant. Quasiment toute notre technologie est fondée sur les mathématiques. Si plus de cent mille avions décollent et atterrissent chaque jour sans risque, c’est parce que les formules mathématiques utilisées par les ingénieurs pour les construire et les exploiter sont fiables. Même des résultats mathématiques a priori absurdes ont été démontrés comme décrivant bien la réalité. Par exemple : la somme de tous les entiers positifs jusqu’à l’infini (1 + 2 + 3 + 4 + …) est égale à un nombre qui n’est ni entier ni positif (–1/12). Pourtant, une formule construite par le physicien Hendrick Casimir utilisant ce résultat contre-intuitif a été validée par les expériences (voir Launay, 2014).

Et il n’y a pas qu’en physique : toutes les sciences, y compris les plus humaines, sont maintenant construites sur les mathématiques. Sauf cygne noir, nous pouvons prévoir de nombreux indicateurs économiques et sociaux d’une année sur l’autre et sur le grand nombre nos prédictions sont valides : si nous ne pouvons savoir qui aura un accident l’année prochaine, mais pouvons à quelques pourcents près savoir combien il y en aura.

Les chercheurs ont trouvé de nombreux critères ayant une influence sur notre vie. Le Billet Eco 1 (MBN 45) avait présenté le concept de superlinéarité que l’Université de Santa Fe résumait en 2010 : "À chaque doublement de la population d’une ville, chaque habitant est, en moyenne, 15% plus riche, 15% plus productif, 15% plus innovateur et a 15% de plus de risque d’être victime d’un crime violent, indépendamment de la géographie de la ville ou de la décennie considérée." Cet effet s’explique partiellement par les économies d’échelle : une ville 10 fois plus grande n’aura pas 10 fois plus de câbles électriques, de stations essences, etc., mais seulement environ 7,5 fois plus. Or, ce ratio de 3/4 apparaît universel : il est notamment proche de la Loi du métabolisme de Kleiber (1932, étendue par West & Brown en 2005) qui montre un ratio de 0,74 entre le poids et le métabolisme basal, et même les super-organismes que sont les colonies d’insectes (comme les fourmis) le respectent aussi.

De nombreux autres ratios démographiques déterminent notre quotidien. Sng et al. (2017) ont trouvé que nous sommes plus orientés vers le futur (c’est-à-dire prêts à reporter des gratifications) quand nous vivons dans une zone à forte densité de population ; Naik et al. (2017) ont montré (à partir des images de Google Street View) que le meilleur prédicteur de l’amélioration de l’environnement urbain est la densité d’habitants diplômés ; Lynn & Vanhanen (2002) ont démontré que la richesse d’un pays est encore plus corrélée au niveau cognitif de sa population qu’à son degré de liberté économique ; etc. Même les guerres et les émeutes apparaissent dépendre de critères démographiques : un simple ratio (Mesquida & Wiener, 1996, 1999) permet de déterminer avec une bonne précision où, et pourquoi, se déclencheront les prochains conflits collectifs, et combien ils feront de morts.

En fait, dans chacun des domaines où des recherches ont été faites, les mathématiques ont montré une influence décisive. Toute notre vie est-elle donc dictée par des formules mathématiques ? Certains le pensent, et l’hypothèse extrême que nous ne vivrions pas dans un monde réel mais dans une simulation artificielle créée par d’autres ne peut être rejetée. Mais cette approche ne signifie pas qu’il suffirait de découvrir toutes les lois mathématiques pour pouvoir contrôler le monde.

Les limites

Tout d’abord, les modèles mathématiques sont intrinsèquement limités. Leur validité sur le grand nombre ne suffit généralement pas pour prédire le résultat d’un événement particulier, notamment quand le hasard est important : connaître la loi de probabilité du Black Jack ne suffit pas pour battre le casino. De plus, leurs résultats ne constituent pas toujours des vérités solides et peuvent même parfois être ininterprétables, comme dans le cas du Paradoxe de Simpson qui montre qu’un médicament peut être plus efficace qu’un placebo sur une population mixte alors qu’il l’est moins sur les hommes comme sur les femmes de cette population (voir Delahaye, 2013).

Ensuite, l’influence des ratios démographiques implique que ce que nous vivons est influencé par l’histoire. Sauf par invasion génocidaire, il est impossible de modifier instantanément la population d’un pays. Or de nombreuses études montrent que nous sommes, génétiquement et donc culturellement, influencés par des faits datant de plusieurs siècles, voire millénaires. Par exemple, Ashraf & Galor (2013) ont trouvé que la diversité génétique au sein d’une population consécutive aux premières migrations ("Out of Africa"), accroît la tendance à l’innovation mais réduit la confiance interpersonnelle, avec comme conséquence que les pays en montrant un niveau intermédiaire bénéficient, des millénaires après, d’une plus grande réussite économique. A l’intérieur même des pays, des influences peuvent durer plusieurs siècles : Barone & Nocetti (2016) ont montré que la ville de Florence (Italie) n’avait connu que très peu de mobilité sociale en 600 ans, et Pascali (2011) a trouvé que le sud de l’Italie souffre encore économiquement de son expulsion des Juifs il y a plus de cinq siècles. Plus généralement, les civilisations elles-mêmes apparaissent avoir une durée de vie et suivre des cycles qui dépassent toutes les autres influences. Si Arbesman (2011) a trouvé que la durée de vie d’un empire suit une Loi de puissance, c’est-à-dire que les chances de survie d’un empire ne dépendent pas de son âge, Glubb (1978) a pu distinguer 6 phases dans un empire et a remarqué que l’ensemble du cycle dure 250 ans (l’Occident en est à la dernière). Une des raisons en est que le transfert du monopole de la violence à l’Etat se traduit par une sélection génétique des plus soumis, laquelle finit par fragiliser la société face aux envahisseurs (Frost & Harpending, 2015 ; voir Neuromonaco 79).

L’avenir est imprévisible

Ainsi, même si certains événements semblent être déterminés par des critères atemporels, notre vie présente est largement dépendante de ce qui s’est passé avant nous. Sauf exception, nous sommes limités par le poids de l’Histoire : c’est l’approche algorithmique qui décrit notre monde, l’imprédictibilité est fondamentale. Nos connaissances seront toujours insuffisantes, de meilleures statistiques économiques pas plus que de nouvelles règles mathématiques ne suffiront jamais pour prédire le futur : le seul moyen de connaître l’avenir sera toujours de le tester, c’est-à-dire de le vivre.

Avec ses 37 000 habitants et 52 000 emplois, la Principauté est suffisamment importante pour permettre des prédictions fiables sur le grand nombre. Nous pouvons prédire avec une bonne certitude combien d’enfants naîtront en Principauté l’année prochaine, combien de pendulaires souffriront d’un accident de trajet, et même combien d’entreprises se créeront ou disparaîtront et combien de salariés elles embaucheront. En nous basant sur notre connaissance de l’histoire du pays, nous pouvons même expliquer ces chiffres et mettre à jour des tendances lourdes, que nous pouvons exploiter. De fait, beaucoup des ratios découverts par la recherche peuvent, et doivent, être appliqués pour comprendre les évolutions du pays et assurer sa réussite.

Mais nous serons toujours limités par l’imprédictibilité fondamentale. Même quand les conséquences des interactions entre tous les agents sont prévisibles, les interactions en elles-mêmes ne le sont pas. Toute politique visant à les contrôler aurait un effet destructeur : c’est quand on essaie de planifier le futur qu’on l’empêche de se réaliser pleinement.

Philippe Gouillou

Références : Arbesman (2011, doi:10.1080/01615440.2011.577733) ; Ashraf & Galor (2013, doi:10.1257/aer.103.1.1) ; Barone & Mocetti (2016, Vox CEPR) ; Delahaye (2013, Pour la science 429) ; Frost & Harpending (2015, doi:10.1177/147470491501300114) ; Glubb (1977, ISBN : 0 85158 127 7) ; Kleiber (1932, Hilgardia) ; Lynn & Vanhanen (2002, ISBN : 027597510X) ; Mesquida & Wiener (1996, doi:10.1016/0162-3095(9600035-0 ; 1999, doi:10.1017/S0730938400021158) ; Naik et al (2017, doi:10.1073/pnas.1619003114) ; Pascali (2016, doi:10.1162/REST_a_00481) ; Sng et al. (2017, doi:10.1037/pspi0000086) ; Tachet et al (2017, doi:10.1038/srep42868) ; West & Brown (2005, doi:10.1242/?jeb.01589), Wolfram (2002, ISBN : 1-57955-008-8) ; Launay (2014, Micmaths) ; Sparks (2017, Numberphile) ; MBN 45, 59 ; Lettre Neuromonaco 79*

Images : Triangle de Sierpiński : Wikimedia Common (Libre de droits). XKCD : Licence CC BY-NC*

Liens

• Billets Eco : - 1 : Ce qu’il y a derrière les chiffres économiques. Philippe Gouillou. Monaco Business News 45. Octobre 2013

• 15 : Eloge de la pensée négative. Philippe Gouillou. Monaco Business News 59. Mai 2017

• Lettre Neuromonaco : - 79 : Auto-domestication humaine et Pacification. Philippe Gouillou. Neuromonaco. 26 Août 2013

• YouTube : - Ben Sparks : Chaos Game. Numberphile - YouTube. 27 avril 2017. (8'38")

• L'incroyable addition 1+2+3+4+...=-1/12 - Mickaël Launay. Micmaths (YouTube). 21 nov. 2014

• Wikipedia : - Conway's Game of Life - Wikipedia

Références

• Arbesman, S. (2011). The Life-Spans of Empires. Historical Methods: A Journal of Quantitative and Interdisciplinary History, 44(3), 127–129. doi:10.1080/01615440.2011.577733

• Ashraf, Q., & Galor, O. (2013). The "Out of Africa" Hypothesis, Human Genetic Diversity, and Comparative Economic Development. American Economic Review, 103(1), 1–46. doi:10.1257/aer.103.1.1

• Barone, G., & Mocetti, S. (2016). What’s your (sur) name ? Intergenerational mobility over six centuries. Vox CEPR, (May 17).

• Delahaye, J.-P. (2013). L’embarrassant paradoxe de Simpson. Pour La Science, (429 (Juillet)), 80–85.

• Frost, P., & Harpending, H. (2015). Western Europe, State Formation, and Genetic Pacification. Evolutionary Psychology, 13(1), 230–243. doi:10.1177/147470491501300114

• Glubb, J. B. (1977). The Fate Of Empires and Search For Survival. Edinburgh, Scotland: William Blackwood & Sons Ltd. ISBN:0 85158 127 7

• Kleiber, M. (1932). "Body size and metabolism". Hilgardia 6: 315–351.

• Lynn, R., & Vanhanen, T. (2002). IQ and the Wealth of Nations. Praeger Publishers. ISBN: 027597510X

• Mesquida, C. G., & Wiener, N. I. (1996). Human collective aggression: A behavioral ecology perspective. Ethology and Sociobiology, 17(4), 247–262. doi:10.1016/0162-3095(96)00035-0

• Mesquida, C. G., & Wiener, N. I. (1999). Male Age Composition and Severity of Conflicts. Politics and the Life Sciences, 18 (September), 181–189. doi:10.1017/S0730938400021158

• Naik, N., Kominers, S. D., Raskar, R., Glaeser, E. L., & Hidalgo, C. A. (2017). Computer vision uncovers predictors of physical urban change. Proceedings of the National Academy of Sciences, 201619003. doi:10.1073/pnas.1619003114

• Pascali, L. (2016). Banks and Development: Jewish Communities in the Italian Renaissance and Current Economic Performance. Review of Economics and Statistics, 98(1), 140–158. doi:10.1162/RESTa00481

• Sng, O., Neuberg, S. L., Varnum, M. E. W., & Kenrick, D. T. (2017). The Crowded Life Is a Slow Life: Population Density and Life History Strategy. Journal of Personality and Social Psychology, 112(5). doi:10.1037/pspi0000086

• Tachet, R., Sagarra, O., Santi, P., Resta, G., Szell, M., Strogatz, S. H., & Ratti, C. (2017). Scaling Law of Urban Ride Sharing. Scientific Reports, 7, 42868. doi:10.1038/srep42868

• West, G., & Brown, J. (2005). The origin of allometric scaling laws in biology from genomes to ecosystems: towards a quantitative unifying theory of biological structure and organization. Journal of Experimental Biology, (208), 1575–1592. doi:10.1242/?jeb.01589

• Wolfram, S (2002). The Significance of Universality in Rule 110. A New Kind of Science | Online. Page 690.

• Wolfram, S (2002). A New Kind of Sciences. Stephan Wolfram. Champaign, IL: Wolfram Media, Inc. ISBN:1-57955-008-8

©Philippe Gouillou - Mardi 31 octobre 2017